Question

（2013•牡丹江）某農場的一個家電商場為了響應國家家電下鄉的號召，準備用不超過105700元購進40臺電腦，其中A型電腦每臺進價2500元，B型電腦每臺進價2800元，A型每臺售價3000元，B型每臺售價3200元，預計銷售額不低于123200元．設A型電腦購進x臺、商場的總利潤為y（元）．
（1）請你設計出進貨方案；
（2）求出總利潤y（元）與購進A型電腦x（臺）的函數關系式，并利用關系式說明哪種方案的利潤最大，最大利潤是多少元？
（3）商場準備拿出（2）中的最大利潤的一部分再次購進A型和B型電腦至少各兩臺，另一部分為地震災區購買單價為500元的帳篷若干頂．在錢用盡三樣都購買的前提下請直接寫出購買A型電腦、B型電腦和帳篷的方案．

Answer 1

分析：（1）設A型電腦購進x臺，則B型電腦購進（40-x）臺，根據總進價不超過105700元和銷售額不低于123200元建立不等式組，求出其解即可；
（2）根據利潤等于售價-進價的數量關系分別表示出購買A型電腦的利潤和B型電腦的利潤就求其和就可以得出結論；
（3）設再次購買A型電腦a臺，B型電腦b臺，帳篷c頂，a≥2，b≥2，c≥1，且a、b、c為整數，根據條件建立方程運用討論法求出其解即可．

解答：解：（1）設A型電腦購進x臺，則B型電腦購進（40-x）臺，由題意，得

2500x+2800(40-x)≤105700 3000x+3200(40-x)≥123200

，
解得：21≤x≤24，
∵x為整數，
∴x=21，22，23，24
∴有4種購買方案：
方案1：購A型電腦21臺，B型電腦19臺；
方案2：購A型電腦22臺，B型電腦18臺；
方案3：購A型電腦23臺，B型電腦17臺；
方案4：購A型電腦24臺，B型電腦16臺；

（2）由題意，得
y=（3000-2500）x+（3200-2800）（40-x），
=500x+16000-400x，
=100x+16000．
∵k=100＞0，
∴y隨x的增大而增大，
∴x=24時，y_最大=18400元．

（3）設再次購買A型電腦a臺，B型電腦b臺，帳篷c頂，由題意，得
2500a+2800b+500c=18400，
c=

184-25a-28b

5

．
∵a≥2，b≥2，c≥1，且a、b、c為整數，
∴184-25a-28b＞0，且是5的倍數．且c隨a、b的增大而減小．
當a=2，b=2時，184-25a-28b=78，舍去；
當a=2，b=3時，184-25a-28b=50，故c=10；
當a=3，b=2時，184-25a-28b=53，舍去；
當a=3，b=3時，184-25a-28b=25，故c=5；
當a=3，b=4時，184-25a-28b=-2，舍去，
當a=4，b=3時，184-25a-28b=0，舍去．
∴有2種購買方案：
方案1：購A型電腦2臺，B型電腦3臺，帳篷10頂，
方案2：購A型電腦3臺，B型電腦3臺，帳篷5頂．

點評：本題考查了列不等式組解實際問題的運用，一次函數的解析式的性質的運用，方案設計的運用，不定方程的解法的運用，分類討論思想的運用，解答時求出解析式是解答本題的關鍵，巧解一元三次不定方程是解答本題的難點．