Question

如圖1，在平面直角坐標系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=3x-4經過等腰Rt△AOB的直角頂點A，交y軸于C點，雙曲線也經過A點。

（1）求點A坐標；
（2）求k的值；
（3）若點P為x軸上一動點，在雙曲線上是否存在一點Q，使得△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴AM=AN， 設點A的坐標為（a，a），點A在直線y=3x-4上， ∴a=3a-4，解得a=2， 則點A的坐標為（2，2）； （2）易知k=4； （3）雙曲線上是存在一點Q，使得△PAQ是等腰直角三角形， 過B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點，連接AQ， 過A點作AP⊥AQ交x軸于P點，則△APQ為所求作的等腰直角三角形； 理由：在△AOP與△ABQ中，∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB， ∴∠OAP=∠BAQ，AO=BA，∠AOP=∠ABQ=45°， ∴△AOP≌△ABQ（ASA）， ∴AP=AQ， ∴△APQ是所求的等腰直角三角形， ∵B（4，0）， ∴Q（4，1）。