Question

【題目】如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點M為BC中點．點P為AB邊上一動點，點D為BC邊上一動點，連接DP，以點P為旋轉中心，將線段PD逆時針旋轉90°，得到線段PE，連接EC．

（1）當點P與點A重合時，如圖2．

①根據題意在圖2中完成作圖；

②判斷EC與BC的位置關系并證明．

（2）連接EM，寫出一個BP的值，使得對于任意的點D總有EM＝EC，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①作圖見解析；②EC⊥BC．證明見解析；（2）EM＝EC．證明見解析；

【解析】

（1）①由題意直接根據要求畫出圖形即可．

②結論：EC⊥BC．證明△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B=45°即可解決問題．

（2）由題意可知當BP=時，總有EM=EC．如圖3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN=PS，連接NE，延長NE交BC于Q，連接EM，EC．通過計算證明QM=QC，利用線段的垂直平分線的性質解決問題即可．

解：（1）①圖形如圖2中所示：

②結論：EC⊥BC．

理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠EAD＝∠BAD＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B＝∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

∴EC⊥BC．

（2）當BP＝時，總有EM＝EC．

理由：如圖3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN＝PS，連接NE，延長NE交BC于Q，連接EM，EC．

∵PD＝PE，∠DPE＝∠SPN＝90°，

∴∠DPS＝∠EPN，

∵∠PSD＝∠N＝90°，

∴△DPS≌△EPN（AAS），

∴PH＝PS，∠PSD＝∠N＝90°，

∵∠PEQ＝∠PSQ＝∠SPN＝90°，

∴四邊形PNQS是矩形，

∵PS＝PN，

∴四邊形PNQS是正方形，

∵BP＝，∠B＝45°，AB＝2，

∴BS＝PS＝，BC＝2，

∴BQ＝2BS＝，QC＝，

∵M是BC的中點，

∴MC＝，

∴MQ＝QC＝，

∵EQ⊥CM，

∴NQ是CM的垂直平分線，

∴EM＝EC．