Question

如圖，拋物線y=-x²+4x+n經過點A（1，0），與y軸交于點B．過點B且平行于x軸的直線交拋物線于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△ABP的周長最小？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求解，直接將點A的坐標代入拋物線的解析式中即可．
（2）令（1）的拋物線中，x=0，即可得B點的坐標，B、C關于拋物線對稱軸對稱，則C點坐標可求，以BC為底、B點縱坐標的絕對值為高，即可求出△ABC的面積．
（3）由于B、C關于拋物線的對稱軸對稱，所以直線AC與拋物線對稱軸的交點即為符合題意的P點，因此聯立直線AC的解析式與拋物線對稱軸方程即可得解．
解答：解：（1）將A（1，0）代入y=-x²+4x+n中，得：
-1+4+n=0，解得：n=-3
∴拋物線的解析式：y=-x²+4x-3．

（2）當x=0時，y=-x²+4x-3=-3，所以B（0，-3）；
由（1）知，拋物線的對稱軸：x=-=2，
因為BC∥x軸，所以B、C關于對稱軸x=2對稱，則C（4，-3）；
∴S_△ABC=•BC•OB=×4×3=6．

（3）設直線AC的解析式為y=kx+b，代入A（1，0）、C（4，-3），得：
，解得
∴直線AC：y=-x+1；
∵B、C關于拋物線的對稱軸對稱，
∴點P為直線AC與拋物線對稱軸x=2的交點，依題意，有：
，解得
∴P（2，-1）．
點評：此題考查的內容較為簡單，主要涉及：二次函數解析式的確定、三角形面積的求法以及軸對稱圖形的性質；（3）題中，充分理解軸對稱圖形的性質以及兩點之間線段最短是解答題目的關鍵，該類型題在二次函數綜合題中經常出現，需要牢固掌握．