Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=BC，過AD的中點E作AC的垂線，交CB的延長線于F．
求證：
（1）四邊形ABCD是菱形．
（2）BF=DE．

Answer 1

【答案】分析：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形，AD和BC既平行又相等，所以四邊形ABCD為平行四邊形，而AD=DC=BC，所以平行四邊形ABCD為菱形；
（2）要證BF=DE，而在原題中已知AE=DE，所以證明的方向就變為證BF=AE，而證BF=AE則可以通過證△FBM≌△EAM來實現．
解答：證明：（1）∵AD∥BC，AD=BC（已知），
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
又鄰邊AD=DC，
∴四邊形ABCD為菱形；（3分）

（2）證法一：如圖：
記EF與AC交點為G，EF與AB的交點為M．
由（1）證得四邊形ABCD為菱形，
所以對角線AC平分∠A，
即∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，AG=AG，
∴△AGM≌△AGE，∴AM=AE．（6分）
又∵E為AD的中點，四邊形ABCD為菱形，
∴AM=BM．∠MAE=∠MBF．
又∵∠BMF=∠AME，
∴△BMF≌△AME．
∴BF=AE．
∴BF=DE．（8分）
證法二：如圖：連接BD
∵四邊形ABCD為菱形
∴BD⊥AC
∵EF⊥AC
∴EF∥BD
∵BF∥DE
∴四邊形BDEF是平行四邊形
∴BF=DE（8分）
點評：此題主要考查菱形的判定和平行四邊形的基本性質，難易程度適中．