Question

如圖，在△ABC中，AB=3，BC=，∠B=45°，在BC邊上有一動點M，過M作MN∥AC，交AB于點N，連接AM，設CM=x（0＜x＜ ），△AMN的面積為S．
（1）求S與x之間的函數關系式；
（2）是否存在點M，使△AMN的面積等于4？若存在，求出CM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CN．MN平行AC，根據等底等高的三角形面積相等可得到S_△CMN=S_△AMN，利用相似三角形的性質可得到BN的長，作NH垂直BM于H，解直角三角形BNH可求出NH的長，繼而求出S與x之間的函數關系式；
（2）不存在點M，使△AMN的面積等于4，設三角形AMN的面積為4，由（1）的函數關系可得一元二次方程無解，所以假設不成立．
解答：解：（1）連接CN．
∵MN∥AC，
∴S_△CMN=S_△AMN，
∵CM=x，則BM=2-x，
∴△BMN∽BCA，
∴，
∴，
∴BN=，
作NH垂直BM于H，
∵∠B=45度，
∴NH=BN=，
∴S=CM•NH；

（2）令S_△AMN=4，即4=，
判別式b²-4ac＜0，方程無解．
故不存在點M，使△AMN的面積等于4．
點評：本題考查了相似三角形的判定、解直角三角形的有關知識、三角形的面積公式運用以及一元二次方程解的存在性問題，題目的綜合性強，計算量大．