Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以邊AB為直徑的⊙O經過點C，E是⊙O上的一點，且∠BEC=45°．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若BE=8cm，sin∠BCE=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據圓周角定理得到∠BOC=2∠BEC=90°，再根據平行四邊形的性質可得AB∥CD，則∠OCD=∠BOC=90°，然后根據切線的判定定理即可得到CD與⊙O相切；
（2）連接AE，根據圓周角定理及其推論得∠AEB=90°，∠EAB=∠BCE，而sin∠BCE=，則sin∠EAB=，根據三角函數的定義易求出AB，即可得到圓的半徑．
解答：解：（1）相切．理由如下：
連接OC，如圖，
∵∠BEC=45°，
∴∠BOC=90°，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD．
∴∠OCD=∠BOC=90°，
∴OC⊥CD．
∴CD為⊙O的切線；

（2）連接AE，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵∠EAB=∠BCE，sin∠BCE=，
∴sin∠EAB=，
∴=，
∵BE=8，
∴AB=10，
∴AO=AB=5，
∴⊙O的半徑為5 cm．
點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理及其推論、平行四邊形的性質以及三角函數的定義．