Question

【題目】如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，拋物線C2的頂點也在拋物線C1上，那么我們稱拋物線C1與C2為“互相關聯”的拋物線．如圖，已知拋物線與是“互相關聯”的拋物線，點A，B分別是拋物線C1，C2的頂點，拋物線C2經過點D（6，－1）.

（1）直接寫出點A，B的坐標和拋物線C2的解析式．

（2）拋物線C2上是否存在點E，使得△ABE是以AB為直角邊的直角三角形?如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（－2，－1），B（2，3），；（2）存在，E的坐標為（6，－1）或（10，－13）．

【解析】

（1）由拋物線可得A（－2，－1），將，D（6，－1）代入C2:y2＝ax2＋x＋c，求得y2＝－x2＋x＋2，B（2,3）.

（2）易得直線AB的解析式：，若B為直角頂點，，E（6，-1）；若A為直角頂點，，E（10，-13）.

（1）由拋物線可得

A（－2，－1）

由拋物線C2:y2＝ax2＋x＋c過點A，D（6，－1）

得

解得

故拋物線C2的解析式為y2＝－x2＋x＋2.

∵y2＝－x2＋x＋2.

＝（x－2）2＋3，

∴點B的坐標為（2，3）.

（2）存在.

設點E的坐標為（m，m2＋m＋2）.

∵A（－2，－1），B（2，3），

∴AB2＝（2＋2）2＋（3＋1）2＝32，

AE2＝（m＋2）2＋（m2＋m＋2＋1）2，

BE2＝（m－2）2＋（m2＋m＋2－3）2.

①當點A為直角頂點時，有AB2＋AE2＝BE2，

即32＋（m＋2）2＋（m2＋m＋2＋1）2

＝（m－2）2＋（m2＋m＋2－3）2，

解得m1＝－2（不合題意，舍去），m2＝10，

∴E（10，－13）.

②當點B為直角頂點時，有AB2＋BE2＝AE2，

即32＋（m－2）2＋（m2＋m＋2－3）2

＝（m＋2）2＋（m2＋m＋2＋1）2，

解得m3＝6，m4＝2（不合題意，舍去），

∴E（6，－1）.

綜上所述，當E的坐標為（6，－1）或（10，－13）.