Question

如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一點（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB；
（2）點P′在劣弧CD上（不與C、D重合）時，∠CP′D與∠COB有什么數量關系？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據垂徑定理知，弧CD=2弧BC，由圓周角定理知，弧BC的度數等于∠BOC的度數，弧AD的度數等于∠CPD的2倍，
可得：∠CPD=∠COB；
（2）根據圓內接四邊形的對角互補知，∠CP′D=180°-∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．
解答：（1）證明：連接OD，
∵AB是直徑，AB⊥CD，
∴．
∴∠COB=∠DOB=∠COD．
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB．

（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．
理由如下：連接OD，
∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠COB=∠CPD，
∴∠CP′D+∠COB=180°．
點評：本題利用了垂徑定理和圓周角定理及圓內接四邊形的性質求解．