Question

如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁．
（1）證明：△A₁AD₁≌△CC₁B；
（2）若∠ACB=30°，試問當點C₁在線段AC上的什么位置時，四邊形ABC₁D₁是菱形．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的性質，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性質，可得出∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，從而證出結論；
（2）根據菱形的性質，四條邊都相等，可推得當C₁在AC中點時四邊形ABC₁D₁是菱形．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁．
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁
∴AA₁=CC₁，∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB．
∴△A₁AD₁≌△CC₁B（SAS）．（6分）

（2）解：∵∠CAB=60°，
又∵四邊形ABC₁D₁是菱形，
∴∠BC₁A=60°，
∴△ABC₁是等邊三角形，
∴AC₁=BC₁，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABC=90°
∴∠C₁BC=∠ACB=30°，
∴BC₁=CC₁=AC₁，即C₁為AC的中點，
∴當C₁在AC中點時四邊形ABC₁D₁是菱形．（9分）
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、矩形、菱形的性質以及平移的性質，是一道綜合題，難度中等．