Question

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC與BD相交于點E，AB=CD．
（1）求證：AC=BD；
（2）若F是⊙O上一點，且

CF

=

AD

，AF的延長線與DB的延長線交于點P，求證：ED²=EB•EP．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知AB=CD，∠DAC=∠ADB，∠C=∠D，所以△ADC≌△DBA，則AC=BD；
（2）利用同弧所對的圓周角相等可知∠CAF=∠DBA，利用AA可得到△AEB∽△PEA，則EA²=EB•EP，利用等量代換可知ED²=EB•EP．

解答：證明：（1）∵AB=CD，AD=AD，
∴∠DAC=∠ADB，∠C=∠D，
∴△ADC≌△DBA（SAS）．
∴AC=BD．

（2）∵

CF

=

AD

，
∴∠CAF=∠DBA．
∵∠AEB=∠PEA，
∴△AEB∽△PEA．
∴EA²=EB•EP．
∵EA=ED，
∴ED²=EB•EP．

點評：本題考查三角形相似，全等的判定方法和圓的有關性質．要掌握這些性質和方法才會在綜合題中靈活運用．