Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB，已知⊙O的半徑為1．
（1）圓心O到BD的距離是

2

2

；
（2）求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

分析：（1）連接BD，OD，作OE⊥BD于點E，易證OE是△BOD的中位線，△ABD和△OBD都是等腰直角三角形，據此即可求解；
（2）根據S_陰影=S_△BCD+S_△BOD-S_扇形DOB即可求解．

解答：解：（1）連接BD，OD，作OE⊥BD于點E．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵∠DAB=45°，
∴∠DAB=∠ABD=45°，
∴AD=BD=

2

2

AB=

2

．
∵OE⊥BD，∠ADB=90°，
∴OE∥AD，
∵OA=OB
∴OE=

1

2

AD=

2

2

，
故答案是：

2

2

；

（2）∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．∠DBC=∠ADB=90°．
∴AD=BC
又∵AD=BD，
∴BD=BC=

2

，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴S_△BCD=

1

2

BC•BD=1．
S_△BOD=

1

2

OB•OD=

1

2

×1×1=

1

2

．
S_扇形DOB=

1

4

π，
∴S_陰影=S_△BCD+S_△BOD-S_扇形DOB=1+

1

2

-

1

4

π=

3

4

-

1

4

π．

點評：本題考查了平行四邊形的性質、三角形的中位線定理以及扇形的面積計算，正確理解S_陰影=S_△BCD+S_△BOD-S_扇形DOB是關鍵．