Question

已知：如圖，⊙O的半徑為r，CE切⊙O于C，且與弦AB的延長線交于點E，CD⊥AB于D．如果CE=2BE，且AC、BC的長是關于x的方程x²-3（r-2）x+r²-4=0的兩個實數根．
求：（1）AC、BC的長；（2）CD的長．

Answer 1

分析：（1）△ECB與△EAC相似，得出AC，BC的關系，結合二次方程得出AC，BC，r的長．
（2）連接CO并延長交⊙O于F，證明△ACF∽△DCB，根據相似三角形的性質求出CD的長．

解答：解：（1）∵CE切⊙O于C
∴∠ECB=∠A，∠E=∠E
∴△ECB∽△EAC
∴BC：AC=BE：CE=1：2
∴AC=2BC
∵

AC+BC=3(r-2) AC•BC=r2-4

∴

BC=r-2 2BC2=r2-4

解得BC=4，r=6，AC=8．

（2）連接CO并延長交⊙O與F，連接AF
∵∠CAF 90°，∠CFA=∠CBD
∵∠CDB=90°=∠CAF
∴△CAF∽△CDB
∴AC：CD=CF：BC
∴CD=

AC•BC

CF

=

8×4

12

=

8

3

．

點評：綜合考查了相似三角形的判定和性質，以及二次方程根與系數的關系，會解方程組．