Question

觀察如圖所包含規律（圖中三角形均是直角三角形，且一條直角邊始終為1，四邊形均為正方形．S₁，S₂，S₃，…S_n依次表示正方形的面積，每個正方形邊長與它左邊相鄰的直角三角形斜邊相等），再回答下列問題．
（1）填表：

直角邊	A1B1	A2B2	A3B3	A4B4	…	AnBn
長度	1				…

（2）當s₁+s₂+s₃+s₄+…+s_n=465時，求n．

Answer 1

分析：（1）結合圖示，根據勾股定理直接計算即可；
（2）根據正方形的邊長，算出每個小正方形的面積，觀察發現是一個等差數列，根據等差數列和的計算公式，可得到一個一元二次方程，解方程可得到n的值．

解答：解：（1）A₁B₁=

12+12

=

2

；A₂B₂=

( 2 )2+12

=

3

；A₃B₃=

( 3 )2+12

=

4

=2；…由此可以推斷出：A_nB_n=

n

；

直角邊	A1B1	A2B2	A3B3	A4B4	…	AnBn
長度	1	2	3	2	…	n

（2）S₁=（

2

）²=2，
S₂=（

3

）²=3，
S₃=2²=4，
S₄=（

5

）²=5，
…
S_n=（

n+1

）²=n+1；
由s₁+s₂+s₃+s₄+…+s_n=465可得：
2+3+4+5+…+n+1=465，
1+2+3+4+5+…+n=465，
有等差數列公式可知：

n(n+1)

2

=465，
解得：n=-31（不合題意舍去）或n=30，
故：n=30．

點評：此題主要考查了勾股定理，關鍵是熟練把握勾股定理公式a²+b²=c²，此題中的難點是根據正方形的面積和求n的值，此題要用到等差數列和的計算公式．