Question

（2011•盤錦）如圖，在一個矩形空地ABCD上修建一個矩形花壇AMPQ，要求點M在AB上，點Q在AD上，點P在對角線BD上．若AB=6m，AD=4m，設AM的長為xm，矩形AMPQ的面積為S平方米．
（1）求S與x的函數關系式；
（2）當x為何值時，S有最大值？請求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根據實際問題：由AM的長為x米，利用相似關系即可轉化出邊長AQ，從而建立函數解析式，要注意自變量的取值范圍．
（2）利用（1）的結論，配方即可求解．

解答：解：（1）∵四邊形AMPQ是矩形，
∴PQ=AM=x．（1分）
∵PQ∥AB，
∴△PQD∽△BAD．（3分）
∴

DQ

DA

=

PQ

BA

．
∵AB=6，AD=4，
∴DQ=

2

3

x．（4分）
∴AQ=4-

2

3

x．（5分）
∴S=AQ•AM=（4-

2

3

x）x=-

2

3

x²+4x（0＜x＜6）．（7分）
（注：不寫自變量取值范圍不扣分，若寫錯則扣1分）

（2）解法一：∵S=-

2

3

x²+4x=-

2

3

（x-3）²+6，（9分）
又∵-

2

3

＜0，
∴S有最大值．
∴當x=3時，S的最大值為6．（11分）
答：當AM的長為3米時，矩形AMPQ的面積最大；最大面積為6平方米．（12分）
解法二：∵-

2

3

＜0，
∴S有最大值．（8分）
∴當x=

4

2×(- 2 3 )

=3時，
S有最大值為-

2

3

×3²+4×3=6．（11分）
答：當AM的長為3米時，矩形AMPQ的面積最大；最大面積為6平方米．（12分）

點評：本題考查的是根據實際問題選擇函數模型的問題．建立函數模型解決實際問題這類應用題的目的在于考查學生對數學語言的閱讀、理解、表達與轉化能力．同時也要注意實際問題中自變量的取值范圍．