Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5（a≠0）經過點A（4，﹣5），與x軸的負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=5OB，拋物線的頂點為點D．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）聯結AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積；
（3）如果點E在y軸的正半軸上，且∠BEO=∠ABC，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵拋物線y=ax2+bx﹣5與y軸交于點C，

∴C（0，﹣5），

∴OC=5．

∵OC=5OB，

∴OB=1，

又點B在x軸的負半軸上，

∴B（﹣1，0）．

∵拋物線經過點A（4，﹣5）和點B（﹣1，0），

∴ ，解得 ，

∴這條拋物線的表達式為y=x2﹣4x﹣5．

（2）

解：由y=x2﹣4x﹣5，得頂點D的坐標為（2，﹣9）．

連接AC，

∵點A的坐標是（4，﹣5），點C的坐標是（0，﹣5），

又S△ABC= ×4×5=10，S△ACD= ×4×4=8，

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=18

（3）

解：過點C作CH⊥AB，垂足為點H．

∵S△ABC= ×AB×CH=10，AB=5 ，

∴CH=2 ，

在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC= ，BH= =3 ，

∴tan∠CBH= = ．

∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO= ，

∵∠BEO=∠ABC，

∴ ，得EO= ，

∴點E的坐標為（0， ）

【解析】（1）先得出C點坐標，再由OC=5BO，得出B點坐標，將A、B兩點坐標代入解析式求出a，b；（2）分別算出△ABC和△ACD的面積，相加即得四邊形ABCD的面積；（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，過C作AB邊上的高CH，利用等面積法求出CH，從而算出tan∠ABC，而BO是已知的，從而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO長度，也就求出了E點坐標．本題為二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形面積求法、等積變換、勾股定理、正切函數等知識點，難度適中．第（3）問，將角度相等轉化為對應的正切函數值相等是解答關鍵．
【考點精析】認真審題，首先需要了解三角形的面積(三角形的面積=1/2×底×高)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關知識才是答題的關鍵．