Question

如圖，已知在平行四邊形ABCD中，E為AD的中點，CE的延長線交BA的延長于點F．
（1）求證：CD=FA；
（2）若∠B=∠F，連接AC、DF，所得到的四邊形AFDC是什么四邊形？
（3）若使∠F=∠BCF，平行四邊形ABCD的邊長之間還需要添加一個什么條件？請你補上這個條件，并進行證明（不要添加輔助線）

Answer 1

分析：（1）通過全等三角形：△CDE≌△FAE，的對應邊相等證得結論；
（2）四邊形AFDC是矩形．由平行四邊形ABCD的對邊BC=AD、等腰△BCF的兩腰BC=CF，則四邊形AFDC的對角線CF=AD；
（3）由（1）易證得BF=2AB，可得當BC=2AB時，即BC=BF時，∠F=∠BCF．

解答：（1）證明：平行四邊形ABCD中，CD∥BA，
∵點F在線段BA的延長線上，
∴CD∥BF，
∴∠CDE=∠FAE．
又∵E為AD的中點，
∴DE=AE．
在△CDE和△FAE中，

∠CDE=∠FAE DE=AE ∠CDE=∠FEA(對頂角相等)

，
∴△CDE≌△FAE（ASA），
∴CD=FA（全等三角形的對應邊相等）；

（2）四邊形AFDC是矩形．理由如下：
由（1）知，CD=FA．CD∥AF，則四邊形AFDC是平行四邊形．
∵∠B=∠BFC，
∴BC=FC．
又∵BC=AD，
∴FC=AD，
∴平行四邊形AFDC是矩形；

（3）要使∠F=∠BCF，需平行四邊形ABCD的邊長之間是2倍的關系，即BC=2AB，
證明：∵由（1）知，△CED≌△FEA，
∴CD=AF．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB．
∴AB=AF，即BF=2AB．
∵BC=2AB．
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF．

點評：此題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，解題的關鍵是注意掌握數形結合思想的應用．