Question

如圖，正方形ABCD的各邊都平行于坐標軸，點A、C分別在直線y=2x和x軸上，若點A在直線y=2x上運動．
（1）當點A運動到橫坐標x=3時，寫出點C的坐標．
（2）寫出x=1時，直線AC的函數解析式．
（3）若點A橫坐標為m，且滿足1≤m≤3時，請你求出對角線AC在移動時所掃過的四邊形的面積．

Answer 1

分析：（1）把x=2代入y=2x求出A的坐標，根據正方形性質求出B、C的坐標；
（2）求出A、C的坐標，設直線AC的函數解析式為y=kx+b，把A、C的坐標代入得出方程組，求出方程組的解即可；
（3）根據圖形得出面積是一個梯形EFCA的面積，根據AC的解析式求出E、F的坐標，分別求出△OEF和△OAC的面積，相減即可求出答案．

解答：解：（1）當x=3時，y=2x=6，則A（3，6）
∴B（9，6）
∴C（9，0）．

（2）x=1時，y=2x=2，
∴A（1，2），
∴B（3，2），
∴C（3，0），
設直線AC的函數解析式為：y=kx+b，
∴

0=3k+b 2=k+b

，
解得：k=-1，b=3，
∴y=-x+3，
即AC的函數表達式為：y=-x+3．

（3）對角線AC掃過的四邊形的形狀為梯形為梯形EFCA，
當1≤m≤3時，由（2）得m=1
∴A（1，2），
即E（1，2），
此時C（3，0），
即F（3，0），
∵直線AC的解析式為y=-x+3
∴它與x軸的交點為C的坐標是（3，0）
又由（1）知A（3，6），C（9，0）
△AOC的面積=

1

2

×9×6=27，
△OEF的面積=

1

2

×3×2=3
掃過的面積S_梯形EFCA=27-3=24，
答：對角線AC在移動時所掃過的四邊形的面積是24．

點評：本題考查了解二元一次方程組，用待定系數法求一次函數的解析式，三角形的面積，點的坐標，正方形的性質等知識點的運用，綜合運用性質進行計算是解此題的關鍵，題目綜合性比較強，有一定的難度，對學生提出較高的要求．