Question

（2011•臺州模擬）如圖等腰三角形紙片OAB，現要求在紙片上截一個正方形，使它的面積盡可能大．
小明的一種設計方案是：如圖，在扇形紙片OAB內，畫正方形CDEF，使C、D在OA上，F在OB上；連接OE并延長交弧AB于I，畫IH∥ED交OA于H，IJ∥EF交OB于J，再畫JG∥FC交OA于G．
（1）你能說明

EF

JI

=

DE

HI

嗎？
（2）四邊形GHIJ是正方形嗎？如果是，請證明．如果不是，請說明理由．
（3）如果扇形OAB的圓心角∠AOB=30°，OA=6cm，小明截得的四邊形GHIJ面積是多少（

3

≈1.73，結果精確到0.1cm²）？

Answer 1

分析：（1）根據平行線分線段成比例定理推出比例式（都等于

OE

OI

），推出即可；
（2）證出四邊形GHIJ是平行四邊形，推出J=HI，∠IHG=90°，根據正方形的定義求出即可；
（3）設正方形GHIJ的邊長為x，推出GH=HI=JG=x，根據∠GOJ=30°求出OG=

3

x，OH=

3

x+x，根據勾股定理得出OI²=OH²+HI²，代入求出即可．

解答：（1）證明：∵IJ∥EF，IH∥ED，
∴

EF

JI

=

OE

OI

，

ED

HI

=

OE

OI

，
∴

EF

JI

=

DE

HI

．

（2）四邊形GHIJ是正方形，
證明：∵CDEF是正方形，
∴EF=DE=CD=CF，
∵

EF

JI

=

DE

HI

，
∴JI=HI，
∵IH∥ED，IJ∥EF，JG∥FC，
∴IJ∥DH，IH∥JG，∠IHG=∠EDC=90°，
∴四邊形GHIJ是正方形．

（3）解：設正方形GHIJ的邊長為x，則GH=HI=JG=x，在直角三角形△OGJ，∠GOJ=30°，
∴OG=

3

x，OH=

3

x+x，∵OI²=OH²+HI²，
∴62=(

3

x+x)2+x2，
解得：x2=

36

5+2 3

=4.3，
∴正方形GHIJ的面積是4.3cm²．

點評：本題考查了正方形的性質和判定，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識點的應用，關鍵是證出正方形GHIJ和根據含30度的直角三角形的性質得出方程，題目比較典型．