Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝x+4與拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c是常數）交于A、B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上．設拋物線與x軸的另一個交點為點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一動點（不與點A、B重合），

①如圖2，若點P在直線AB上方，連接OP交AB于點D，求的最大值；

②如圖3，若點P在x軸的上方，連接PC，以PC為邊作正方形CPEF，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點E或F恰好落在y軸上，直接寫出對應的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①；②P點坐標（，），（， ），（，2 ）（，2 ）

【解析】

（1）利用直線解析式求出點A、B的坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式即可；

（2）作PF∥BO交AB于點F，證△PFD∽△OBD，得比例線段，則PF取最大值時，求得的最大值；

（3）（i）點F在y軸上時，過點P作PH⊥x軸于H，根據正方形的性質可證明△CPH≌△FCO，根據全等三角形對應邊相等可得PH=CO=2，然后利用二次函數解析式求解即可；（ii）點E在y軸上時，過點PK⊥x軸于K，作PS⊥y軸于S，同理可證得△EPS≌△CPK，可得PS=PK，則P點的橫縱坐標互為相反數，可求出P點坐標；點E在y軸上時，過點PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，同理可證得△PEN≌△PCM，可得PN=PM，則P點的橫縱坐標相等，可求出P點坐標．

解：（1）直線y＝x+4與坐標軸交于A、B兩點，

當x＝0時，y＝4，x＝﹣4時，y＝0，

∴A（﹣4，0），B（0，4），

把A，B兩點的坐標代入解析式得，，解得，，

∴拋物線的解析式為 ；

（2）①如圖1，作PF∥BO交AB于點F，

∴△PFD∽△OBD，

∴，

∵OB為定值，

∴當PF取最大值時，有最大值，

設P（x，），其中﹣4＜x＜0，則F（x，x+4），

∴PF＝＝，

∵且對稱軸是直線x＝﹣2，

∴當x＝﹣2時，PF有最大值，

此時PF＝2，；

②∵點C（2，0），

∴CO＝2，

（i）如圖2，點F在y軸上時，過點P作PH⊥x軸于H，

在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，

∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，

∴∠HPC＝∠OCF，

在△CPH和△FCO中，，

∴△CPH≌△FCO（AAS），

∴PH＝CO＝2，

∴點P的縱坐標為2，

∴，

解得，，

∴，，

（ii）如圖3，點E在y軸上時，過點PK⊥x軸于K，作PS⊥y軸于S，

同理可證得△EPS≌△CPK，

∴PS＝PK，

∴P點的橫縱坐標互為相反數，

∴，

解得x＝2（舍去），x＝﹣2，

∴，

如圖4，點E在y軸上時，過點PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，

同理可證得△PEN≌△PCM

∴PN＝PM，

∴P點的橫縱坐標相等，

∴，

解得，（舍去），

∴，

綜合以上可得P點坐標（，），（， ），（，2 ）（，2 ）．