Question

如圖，有一直徑MN=4的半圓形紙片，其圓心為點P，從初始位置Ⅰ開始，在無滑動的情況下沿數軸向右翻滾至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于數軸，且半⊙P與數軸相切于原點O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于數軸；位置Ⅲ中的MN在數軸上；位置Ⅴ中半⊙P與數軸相切于點A，且此時△MPA為等邊三角形．
解答下列問題：（各小問結果保留π）
（1）位置Ⅰ中的點O到直線MN的距離為______；位置Ⅱ中的半⊙P與數軸的位置關系是______；
（2）位置Ⅲ中的圓心P在數軸上表示的數為______；
（3）求OA的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出圓的半徑，再根據切線的性質進行解答；
（2）根據位置Ⅰ中弧ON的長與數軸上線段ON相等，利用弧長公式求出弧ON的長，進而可得出結論；
（3）根據△MPA為等邊三角形，故可利用弧長公式求出的長，進而得出結論．
解答：解：（1）∵⊙P的直徑=4，
∴⊙P的半徑=2，
∵⊙P與直線有一個交點，
∴位置Ⅰ中的MN與數軸之間的距離為2；位置Ⅱ中的半⊙P與數軸的位置關系是相切；
故答案為：2，相切；
（2）位置Ⅰ中弧ON的長與數軸上線段ON相等，
弧ON的長為=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圓心P在數軸上表示的數為π+2，
故答案為：π+2；
（3）∵△MPA為等邊三角形，
∴∠MPA=60°．
從而弧MA的長為=，于是OA的長為π+4+=π+4．
點評：本題考查的是直線與圓的關系、弧長的計算、扇形的面積公式，在解答此題時要注意Ⅰ中弧ON的長與數軸上線段ON相等的數量關系．