Question

（2012•青島）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分別是AC、AB的中點，連接DE，點P從點D出發，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜4）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，PQ⊥AB？
（2）當點Q在BE之間運動時，設五邊形PQBCD的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式；
（3）在（2）的情況下，是否存在某一時刻t，使PQ分四邊形BCDE兩部分的面積之比為S_△PQE：S_{五邊形PQBCD}=1：29？若存在，求出此時t的值以及點E到PQ的距離h；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖①所示，當PQ⊥AB時，△PQE是直角三角形．解決問題的要點是將△PQE的三邊長PE、QE、PQ用時間t表示，這需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例線段關系（或三角函數）；
（2）本問關鍵是利用等式“五邊形PQBCD的面積=四邊形DCBE的面積-△PQE的面積”，如圖②所示．為求△PQE的面積，需要求出QE邊上的高，因此過P點作QE邊上的高，利用相似關系（△PME∽△ABC）求出高的表達式，從而問題解決；
（3）本問要點是根據題意，列出一元二次方程并求解．假設存在時刻t，使S_△PQE：S_{五邊形PQBCD}=1：29，則此時S_△PQE=

1

30

S_梯形DCBE，由此可列出一元二次方程，解方程即求得時刻t；點E到PQ的距離h利用△PQE的面積公式得到．

解答：解：（1）如圖①，在Rt△ABC中，
AC=6，BC=8
∴AB=

62+82

=10．
∵D、E分別是AC、AB的中點．
AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且
DE=

1

2

BC=4
∵PQ⊥AB，
∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC
∴∠AED=∠B
∴△PQE∽△ACB

PE

AB

=

QE

BC

由題意得：PE=4-t，QE=2t-5，
即

4-t

10

=

2t-5

8

，
解得t=

41

14

；

（2）如圖②，過點P作PM⊥AB于M，
由△PME∽△ACB，得

PM

AC

=

PE

AB

，
∴

PM

6

=

4-t

10

，得PM=

3

5

（4-t）．
S_△PQE=

1

2

EQ•PM=

1

2

（5-2t）•

3

5

（4-t）=

3

5

t²-

39

10

t+6，
S_梯形DCBE=

1

2

×（4+8）×3=18，
∴y=18-（

3

5

t²-

39

10

t+6）=-

3

5

t²+

39

10

t+12．

（3）假設存在時刻t，使S_△PQE：S_{五邊形PQBCD}=1：29，
則此時S_△PQE=

1

30

S_梯形DCBE，
∴

3

5

t²-

39

10

t+6=

1

30

×18，
即2t²-13t+18=0，
解得t₁=2，t₂=

9

2

（舍去）．
當t=2時，
PM=

3

5

×（4-2）=

6

5

，ME=

4

5

×（4-2）=

8

5

，
EQ=5-2×2=1，MQ=ME+EQ=

8

5

+1=

13

5

，
∴PQ=

PM2+MQ2

=

( 6 5 )2+( 13 5 )2

=

205

5

．
∵

1

2

PQ•h=

3

5

，
∴h=

6

5

•

5

205

=

6 205

205

（或

6

205

）．

點評：本題是動點型綜合題，解題關鍵是掌握動點運動過程中的圖形形狀、圖形面積的表示方法．所考查的知識點涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的難度．注意題中求時刻t的方法：最終都是轉化為一元一次方程或一元二次方程求解．