Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE。

（1）求證：CE=CF；
（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？
（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：
如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點，且
∠DCE=45°，BE=4，求DE的長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）成立，證明見解析；（3）10.

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質，可直接證明△CBE≌△CDF，從而得出CE=CF；

（2）延長AD至F，使DF=BE，連接CF，根據（1）知∠BCE=∠DCF，即可證明∠ECF=∠BCD=90°，根據∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；

（3）過C作CF⊥AD的延長線于點F．則四邊形ABCF是正方形，設DF=x，則AD=12-x，根據（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解；

試題解析：（1）如圖1，在正方形ABCD中，

∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE=CF；

（2）如圖2，延長AD至F，使DF=BE，連接CF，

由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF．

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD

即∠ECF=∠BCD=90°，

又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，

∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG，

∴GE=GF，

∴GE=DF+GD=BE+GD；

（3）過C作CF⊥AD的延長線于點F．則四邊形ABCF是正方形．

AE=AB-BE=12-4=8，

設DF=x，則AD=12-x，

根據（2）可得：DE=BE+DF=4+x，

在直角△ADE中，AE2+AD2=DE2，則82+（12-x）2=（4+x）2，

解得：x=6．

則DE=4+6=10．