Question

29、如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過點D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點E，連接CE．
（1）說明：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，P是直線DE上的一點．則當P在何處時，PB+PC最小，并求出此時PB+PC的值．

Answer 1

分析：（1）先根據等邊三角形三線合一的性質得出AE=CE，再根據等腰三角形的判定定理得出△BCE是等腰三角形，即CE=BE即可得出結論；
（2）根據線段的垂直平分線到線段兩端的距離相等可得PC=PA，再由兩點之間線段最短可得出當P在E處時最小，即PB+PC=AB=15cm．

解答：解：（1）等邊三角形ADC中，
∵DF⊥AC，
∴DF垂直平分AC，
∴AE=CE；
∴∠ACE=∠CAE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°，
∴∠BCE=∠B，
∴CE=BE，
∴AE=CE=BE；

（2）∵DE垂直平分AC，
∴PC=PA，
∴PB+PC=PB+PA；
∴PB+PC最小，也就是PB+PA最小，也就是P、B、A在同一直線上是最小，即當P在E處時最小，
當點P在E處時，PB+PC=EB+EC=AB=15cm．

點評：本題考查的是最短線路問題，解答此類題目的關鍵是熟知兩點之間線段最短的知識．