Question

(2004青島課改)把兩個全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角邊長均為4)疊放在一起(如圖①)，且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現將三角形板EFG繞O點按順時針方向旋轉(旋轉角α滿足條件：0°＜α＜90°)，四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分(如圖②)．

圖①

圖②

(1)在上述旋轉過程中，BH與CK有怎樣的數量關系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發現的結論；

(2)連接HK，在上述旋轉過程中，設BH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，求出此時x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)在上述旋轉過程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變． 證明∵ΔABC為等腰直角三角形，O(G)為其斜邊中點，∴CG=BG，CG⊥AB，∴∠ACG=∠B=45° 又∵∠BGH與∠CGK均為旋轉角，∴∠BGH=∠CGK，∴ΔBGH≌ΔCGK． ∴BH=CK，． ∴，． 即：四邊形CHGK的面積為4，是一個定值，在旋轉過程中沒有變化． (2)∵AC=BC=4，BH=x， ∴CH=4－x，CK=x． ∴． 即． ∴． 又∵0°＜α＜90°，∴0＜x＜4． (3)存在． 根據題意得． 解得． 即當x=1或x=3時，ΔGHK的面積均等于ΔABC的面積的．