Question

 如圖，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是    ，cosA的值是    ．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】分析：可以證明△ABC∽△BDC，設AD=x，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可列出方程，求得x的值；
過點D作DE⊥AB于點E，則E為AB中點，由余弦定義可求出cosA的值．
解答：解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB==72°．
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°．
∴∠A=∠DBC=36°，
又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC，
∴=，
設AD=x，則BD=BC=x．則=，
解得：x=（舍去）或．
故x=．
如右圖，過點D作DE⊥AB于點E，
∵AD=BD，
∴E為AB中點，即AE=AB=．
在Rt△AED中，cosA==．
故答案是：；．
點評：△ABC、△BCD均為黃金三角形，利用相似關系可以求出線段之間的數量關系；在求cosA時，注意構造直角三角形，從而可以利用三角函數定義求解．