Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）在（2）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）所求拋物線的表達式為:  （2）

（3）為等腰三角形，理由點E和點B關于直線OC軸對稱，所以CE=CB

【解析】

試題分析：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，

由題意得:A（-6，0），C（0，8），B（2，0）

∵點C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上，∴c=8，

將A（-6，0）、B（2，0）代入表達式，得，

解得       

∴所求拋物線的表達式為:    

(2)由 A（-6，0），C（0，8），B（2，0）得：AB=8，OC=8，OA=6，

∵AE="m," ∴BE="8-m."   

在Rt △AOC中，由勾股定理得：

  

設中BE邊上的高為h.

∵EF//AC

∽

,即，  

(3) 由（2）知，S存在最大值，最大值為8平方單位， 

此時，m=4，所以點E坐標為（-2,0）， 

點E和點B關于直線OC軸對稱；為等腰三角形。

考點：拋物線，等腰三角形，相似三角形

點評：本題考查拋物線，等腰三角形，要求考生會用待定系數法求函數的解析式，掌握拋物線的性質，熟悉等腰三角形的判定方法，會判定兩個三角形相似