Question

如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，BC=2以線段BC的中點O為圓心，以OB為半徑作圓，連結OA交⊙O于點M
（1）若∠ABO=120°，AO是∠BAD的平分線，求的長；
（2）若點E是線段AD的中點，AE=，OA=2，求證：直線AD與⊙O相切．

Answer 1

（1）解：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠AOB，
∵AO是∠BAD的平分線，
∴∠EAO=∠BAO，
∴∠BAO=∠AOB，
∵∠ABC=120°，BC=2，O是BC的中點，
∴∠AOB=∠BAO=30°，OA=OB=1，
∴的長是=π；

（2）
證明：連接OD和OE，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABO=∠DCO，
∵O為BC中點，
∴BO=CO，
∵在△ABO和△DCO中

∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴AO=OD，
∵E為AD中點，
∴OE⊥AD，
在Rt△AEO中，AE=，AO=2，由勾股定理得：OE=1=BO，
即OE為半徑，OE⊥AD，
∴直線AD與⊙O相切．
分析：（1）求出AB=BO，求出∠AOB，根據弧長公式求出即可；
（2）連接OD，OE，證出AO=OD，根據等腰三角形性質求出OE⊥暗淡，QIUC OE=OB，根據切線的判定推出即可．
點評：本題考查了切線的判定，弧長公式，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定等知識點的綜合運用．