Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC為弦，D是的中點，過點D作EF⊥AC，交AC的延長線于E，交AB的延長線于F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若sin∠F=，AE=4，求⊙O的半徑和AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據圓周角定理，可得∠BOD=∠A，則OD∥AC，從而得出∠ODF=90°，即EF是⊙O的切線；
（2）先解直角△AEF，由sin∠F=，得出AF=3AE=12，再在直角△ODF中，由sin∠F=，得出OF=3OD，設⊙O的半徑為R，由AF=12列出關于R的方程，解方程即可求出⊙O的半徑；連接BC，證明BC∥EF，根據平行線分線段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的長．
解答：（1）證明：連接OD，
∵D是的中點，
∴∠BOD=∠A，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠ODF=90°，
即EF是⊙O的切線；

（2）解：在△AEF中，∵∠E=90°，sin∠F=，AE=4，
∴AF==12．
設⊙O的半徑為R，則OD=OA=OB=R，AB=2R．
在△ODF中，∵∠ODF=90°，sin∠F=，
∴OF=3OD=3R．
∵OF+OA=AF，
∴3R+R=12，∴R=3．
連接BC，則∠ACB=90°．
∵∠E=90°，
∴BC∥EF，
∴AC：AE=AB：AF，
∴AC：4=2R：4R，
∴AC=2．
故⊙O的半徑為3，AC的長為2．
點評：本題考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形及平行線分線段成比例定理，難度中等，綜合性較強．