Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分別為AB、AD的中點，連接EF、EC、BF、CF． 
（1）四邊形AECD的形狀是______；
（2）若CD=2，求CF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形AECD為平行四邊形，理由為：由E為AB的中點，得到AE=BE=AB，又AB=2CD，即CD=AB，可得出DC=AE，又DC平行于AE，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得出AECD為平行四邊形；
（2）由AECD為平行四邊形且DC=2，得到AE=2，由E為AB的中點，得到AE=BE=2，可得出AB=4，又根據平行四邊形的對邊平行，得到EC與AD平行，再利用兩直線平行同位角相等，由∠A為60°得到∠CEB為60°，在直角三角形EBC中，求出∠ECB為30°，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，根據EB的長求出EC的長，利用勾股定理求出BC的長，再由平行四邊形的對邊相等可得出AD=CE，求出AD的長，又F為AD的中點，求出AF=2，可得出三角形AFE為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠AEF為60°，又∠CEB為60°，利用平角的定義求出∠FEC為60°，即∠FEC=∠BEC，再由EF=EB，及公共邊EC，利用SAS可得出三角形CFE與三角形CBE全等，根據全等三角形的對應邊相等可得出CF=CB，由CB的長即可得到CF的長．
解答：解：（1）四邊形AECD的形狀是平行四邊形，理由為：
∵E為AB的中點，
∴AE=EB=AB，又AB=2CD，即CD=AB，
∴DC=AE，又DC∥AE，
∴四邊形AECD為平行四邊形；

（2）∵四邊形AECD是平行四邊形，且CD=2，
∴AE=CD=2，
∵E是AB的中點，
∴AE=EB=2，AB=2CD=4，
∵四邊形AECD是平行四邊形，
∴EC∥AD，EC=AD，又∠A=60°，
∴∠BEC=∠A=60°，
又∵AB⊥BC，
∴∠EBC=90°，
在Rt△EBC中，∠ECB=90°-60°=30°，EB=2，
∴EC=2EB=4，
∴BC==2，
∴AD=EC=4，…（3分）
∵F是AD的中點，
∴AF=2，
又∵AE=2，∠A=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴EF=2，∠AEF=60°，
又∵∠CEB=60°，
∴∠FEC=180°-（∠AEF+∠CEB）=60°，
在△ECF和△ECB中，
∵，
∴△ECF≌△ECB（SAS），
∴FC=BC=2．
故答案為：平行四邊形．
點評：此題考查了直角梯形的性質，涉及的知識有：含30°直角三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，平行線的性質，以及等邊三角形的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．