Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，BE，點P為DC的中點，

（1）（觀察猜想）圖1中，線段AP與BE的數量關系是 ，位置關系是 ．

（2）（探究證明）把△ADE繞點A逆時針旋轉到圖2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立請證明，否請說明理由；

（3）（拓展延伸）把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝4，AB＝10，請直接寫出線段AP長度的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）AP＝BE，PA⊥BE；（2）成立，理由見解析；（3）PA的最大值為7，最小值為3

【解析】

(1)設PA交BE于點O，根據題目已知條件可以得到△DAC≌△EAB，從而得出PA＝BE，∠C＝∠PAE，因為∠CAP+∠BAO＝90°，即可證明出結論；

(2)結論成立，延長AP至M，使PM＝PA，連接MC，延長PA交BE于O，根據題目已知條件得出△APD≌△MPC，進而得到∠EAB＝∠ACM，再證明得出△EAB≌△MCA，即可得出結論；

(3)因為AC＝10，CM＝4，所以6≤AM≤14，再利用AM＝2AP即可得出答案．

解：(1)設PA交BE于點O，

∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB，

∴△DAC≌△EAB，

∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE，

∵∠DAC＝90°，DP＝PC，

∴PA＝CD＝PC＝PD，

∴PA＝BE，∠C＝∠PAE，

∵∠CAP+∠BAO＝90°，

∴∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠AOB＝90°，

∴PA⊥BE，

(2)結論成立．

理由：延長AP至M，使PM＝PA，連接MC，延長PA交BE于O，

∵PA＝PM，PD＝PC，∠APD＝∠CPM，

∴△APD≌△MPC，

∴AD＝CM，∠ADP＝∠MCP，

∴AD∥CM，

∴∠DAC+∠ACM＝180°，

∵∠BAC＝∠EAD＝90°，

∴∠EAB＝∠ACM，

∵AB＝AC，AE＝CM，

∴△EAB≌△MCA，

∴BE＝BM，∠CAM＝∠ABE，

∵PA＝AM，PA＝BE，

∵∠CAM+∠BAO＝90°，

∴∠ABE+∠BAO＝90°，

∴∠AOB＝90°，

∴PA⊥BE．

(3)∵AC＝10，CM＝4，

∴10﹣4≤AM≤10+4，

∴6≤AM≤14，

∵AM＝2AP，

∴3≤PA≤7．

∴PA的最大值為7，最小值為3．