Question

一副斜邊相等的直角三角板（∠DAC=45°，∠BAC=30°），按如圖所示的方式在平面內拼成一個四邊形．
（1）A，B，C，D四點在同一個圓上嗎？如果在，請寫出證明過程；如果不在，請說明理由；
（2）過點D作直線l∥AC，求證：l是這個圓的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得AC的中點O到ABCD四點距離相等，故A，B，C，D四點在同一個圓上；（2）要證l是這個圓的切線，只需證明OD⊥l即可，根據等腰直角三角形的性質易得OD⊥AC，而l∥AC，易得證明．
解答：（1）解：A，B，C，D四點在同一個圓上．
證明：取AC的中點O，連接OD，OB，（2分）
∵△ABC和△ADC是直角三角形，
∴OB=OD=AC=OA=OC，（4分）
∴A，B，C，D四點在⊙O上．（5分）

（2）證明：∵Rt△ADC中，∠DAC=45°，
∴△DAC是等腰三角形，（7分）
∴OD⊥AC．（8分）
∵l∥AC，
∴OD⊥l，（9分）
∴l是⊙O的切線．（10分）
點評：本題考查多點共圓的證明及切線的判定．