Question

如圖，為處理含有某種雜質同的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質的質量分數與a，b乘積ab成反比，現有制箱材料60平方米，問當a，b各為

 

、

 

米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小（A，B孔的面積忽略不計）．

Answer 1

分析：首先設y為流出的水中雜質的質量分數，則y=

k

ab

，其中k＞0為比例系數，依題意，即所求的a，b值使y值最小，由題意可得4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），然后求得b的值，根據a+b≥2

ab

的性質，即可求得答案．

解答：解：解法一：設y為流出的水中雜質的質量分數，
則y=

k

ab

，其中k＞0為比例系數．
依題意，即所求的a，b值使y值最小．
根據題設，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
得b=

30-a

2+a

（0＜a＜30）．①
于是y=

k

ab

=

k

30a-a2 2+a

=

k

-a+32- 64 a+2

=

k

34-(a+2+ 64 a+2 )

≥

k

34-2 (a+2)• 64 a+2

=

k

18

，
當a+2=

64

a+2

時取等號，y達到最小值．
這時a=6，a=-10（舍去）．
將a=6代入①式得b=3．
故當a為6米，b為3米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小．

解法二：依題意，即所求的a，b的值使ab最大．
由題設知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）．
因為a+2b≥2

2ab

，
所以 2

2

ab

+ab≤30，
當且僅當a=2b時，上式取等號．
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．
即當a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18．
所以2b²=18．解得b=3，a=6．
故當a為6米，b為3米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小．
故答案為：6，3．

點評：此題考查了幾何不等式的應用，考查了利用函數知識求解實際問題的知識．此題難度較大，解題的關鍵是理解題意，根據題意構建函數關系，利用幾何不等式的知識求最值．