Question

如圖1，△ABC內接于半徑為4cm的⊙O，AB為直徑，長為．

（1）計算∠ABC的度數；
（2）將與△ABC全等的△FED如圖2擺放，使兩個三角形的對應邊DF與AC有一部分重疊，△FED的最長邊EF恰好經過的中點M．求證：AF=AB；
（3）設圖2中以A、C、M為頂點的三角形面積為S，求出S的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，連結OC．利用弧長公式、等腰△OBC的性質來求∠ABC的度數；
（2）如圖2，連結OM，過點F作FH⊥AB于點H．構建矩形OMFH．所以利用矩形的性質、30度角所對的直角邊是斜邊的一半推知，OM=FH=AB．所以AF=AB；
（3）如圖2，連結AM、CM，過點M作MN⊥AC于點N，構造等腰直角△CMN．設MN=NC=x．在Rt△ABC中，利用特殊角的三角函數定義求得AC=4cm．在Rt△AMO中，根據勾股定理求得cm．在Rt△AMN中，利用勾股定理知AM²=AN²+MN²，據此可以列出關于x的方程，通過解方程可以求得x的值．最后根據三角形的面積公式來求S的值．
解答：（1）解：如圖1，連結OC．
∵長為，⊙O的半徑為4cm
∴，
∴n=60，即∠BOC=60°．
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OBC=；

（2）證明：如圖2，連結OM，過點F作FH⊥AB于點H．
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-60°=30°．
∴在Rt△FAH中，
∵點M為的中點，
∴OM⊥AB且OM=AB，
∴OM∥FH．
∵△ABC與△FED全等，
∴∠A=∠EFD=30°，
∴EF∥AB，
∴四邊形MFOH是矩形，
∴OM=FH=AB
∴AF=AB；

（3）如圖2，連結AM、CM，過點M作MN⊥AC于點N．
在Rt△ABC中，AB=8cm，∠A=30°，
∴AC=4cm．
在Rt△AMO中，cm．
設MN=x，∵點M是的中點，
∴∠MCN=∠AOM=45°，
∴MN=NC=x．
在Rt△AMN中，AM²=AN²+MN²，即，
解得，（舍去）
∴
∴．
點評：本題綜合考查了圓周角定理，垂徑定理，矩形的判定與性質，以及勾股定理等知識．此題難度較大，需要學生系統的運用所學的數學知識來解答．