Question

已知，如圖，直角坐標系中的等腰梯形ABCD，AB∥CD，下底AB在x軸上，D在y軸上，M為AD的中點，過O作腰BC的垂線交BC于點E．
（1）求證：OM⊥OE；
（2）若等腰梯形中AD所在的直線的解析式為，且，求過等腰梯形ABCD的三個頂點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）若點M在梯形ABCD內沿水平方向移動到N，且使四邊形MNCD為平行四邊形，拋物線上是否存在一點P，使S_△PAB與四邊形MNCD的面積相等？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知OE⊥BC，則∠OBE+∠BOE=90°，欲求OM⊥OE，即∠MOA+∠BOE=90°，就必須先證得∠MOA=∠OBE，在Rt△OAD中，M是斜邊AD的中點，則OM=AM，得∠OAM=∠MOA，而等腰梯形ABCD的兩底角∠OAM=∠OBE，通過等量代換即可證得∠MOA=∠OBE，由此得證．
（2）根據直線AD的解析式，可求得點A、D的坐標，即可得到OA、OD的長，已知了DC、AB的比例關系，結合等腰梯形的對稱性即可求得AB、CD的長，從而得到C、B的坐標，可根據A、B、D三點的坐標，利用待定系數法求出拋物線的解析式，然后再代入C點坐標進行驗證即可．
（3）根據A、D的坐標，易得線段AD中點M的坐標；以DC為底，D、M縱坐標差的絕對值為高，可求得平行四邊形MNCD的面積，即可得到△PAB的面積；在△ABP中，底邊AB為定長，根據已求得的三角形面積，可得到P點縱坐標的絕對值，將其代入拋物線的解析式中，即可求得點P的坐標，需注意的是P點縱坐標有正、負兩種情況，需要分類討論．
解答：解：（1）∠A=∠B；
因為M為直角三角形AOD的斜邊中點，
所以OM=MA，
則∠A=∠MOA，
所以∠MOA=∠B；
又因為OE⊥BC，
所以∠B+∠BOE=90°，
所以∠MOA+∠BOE=90°，則OM⊥OE．

（2）可以求得D（0，4），A（-3，0）；
所以OA=3，OD=4，AB=8，DC=2，
所以B（5，0）、C（2，4）；
設過A、B、D的拋物線為y=a（x+3）（x-5），
將點D的坐標代入，求出a=，
即y=-（x+3）（x-5），
驗證點C也在此拋物線上，所以所求的拋物線為y=-（x+3）（x-5）．

（3）可以求出N（0.5，2），所以平行四邊形MNCD的面積為4；
設P（m，n），又AB=8，
所以，則|n|=1，所以n=±1；
當n=1時，1=-（x+3）（x-5），所以x=-或；
當n=-1時，-1=-（x+3）（x-5），所以x=；
因此這樣的點P有四個，分別為（-，1）、（，1）、（，-1）、（，-1）．
點評：此題考查的知識點有：直角三角形、等腰梯形的性質，拋物線解析式的確定，圖形面積的求法等．要注意的是（3）題中，根據△ABP的面積求得的點P縱坐標應有正、負兩種情況，不要漏解．