Question

如圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．其中正確結論是（　　）
（1）在圖1中∠A+∠D=∠C+∠B．
（2）在圖2中“8字形”的個數為4．
（3）圖2中，當∠D=50度，∠B=40度時∠P=45度．
（4）圖2中∠D和∠B為任意角時其他條件不變∠D+∠B=2∠P．

A．（1）（2）（3）

B．（1）（2）（3）

C．（1）（3）（4）

D．（1）（2）（3）（4）

Answer 1

分析：（1）根據三角形內角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）根據“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；
（3）先根據“8字形”中的角的規律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根據角平分線的定義，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，將①+②，可得2∠P=∠D+∠B，進而求出∠P的度數；
（4）同（3），根據“8字形”中的角的規律及角平分線的定義，即可得出2∠P=∠D+∠B．

解答：解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D=∠C+∠B，故本選項正確；                    

（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；
②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；
③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；
④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；
⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；
⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6個，故本選項錯誤；                               

（3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P=∠D+∠B，
又∵∠D=50度，∠B=40度，
∴2∠P=50°+40°，
∴∠P=45°，故本選項正確；                       

（4）關系：2∠P=∠D+∠B．   
由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4①
由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，②
 ①+②得：
∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1，
∠D+2∠B=2∠P+∠B，
即2∠P=∠D+∠B，故本選項正確．
故選C．

點評：本題考查了三角形內角和定理、三角形的外角性質，根據三角形的內角和定理以及角平分線的定義就可以求出角的度數．