Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點，直線y= x與AB交于點C，與過點A且平行于y軸的直線交于點D，點E從點A出發，以每秒1個單位的速度沿x軸向左運動，過點E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點，以PQ為邊向右作正方形PQMN．設正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點E的運動時間為ts（t＞0）．

（1）求點C的坐標；
（2）當0＜t＜5時，求S的最大值；
（3）當t在何范圍時，點（4， ）被正方形PQMN覆蓋？請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，得 ，

解得： ，

∴C（3， ）

（2）

解：∵直線y=﹣ x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點，

∴y=0時，0=﹣ x+6，解得；x=8，

∴A點坐標為；（8，0），

根據題意，得AE=t，OE=8﹣t．

∴點Q的縱坐標為 （8﹣t），點P的縱坐標為﹣ （8﹣t）+6= t，

∴PQ= （8﹣t）﹣ t=10﹣2t．

當MN在AD上時，10﹣2t=t，

∴t= ．

當0＜t≤ 時，S=t（10﹣2t），即S=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣ ）2+ ，S有最大值為 ．

當 ＜t＜5時，S=（10﹣2t）2，即S=4t2﹣40t+100=4（t﹣5）2，

∵t＜5時，S隨t的增大而減小，

∴t= 時，S最大值= ，

∵ ＞ ，

∴S的最大值為

（3）

解：當t=5時，PQ=0，P，Q，C三點重合；

當t＜5時，知OE=4時是臨界條件，即8﹣t=4

即t=4

∴點Q的縱坐標為5＞ ，

點（4， ）在正方形邊界PQ上，E繼續往左移動，則點（4， ）進入正方形內部，但點Q的縱坐標再減少，當Q點的縱坐標為 時，OE= ，

∴8﹣t= ，解得：t= ，

此時OE+PN= +PQ= +（10﹣2t）= ＞4滿足條件，

∴4＜t＜ ，

當t＞5時，由圖和條件知，則有E（t﹣8，0），PQ=2t﹣10要滿足點（4， ）在正方形的內部，

則臨界條件N點橫坐標為44=PQ+OE=|2t﹣10|+|t﹣8|=3t﹣18

即t=6，此時Q點的縱坐標為：﹣ ×2+6= ＞ ．滿足條件，

∴t＞6．

綜上所述：4≤t≤ 或t≥6時，點（4， ）被正方形PQMN覆蓋．

【解析】（1）簡單求兩直線的交點，得點C的坐標；（2）求得S與t之間的函數關系式；配方，即可求得二次函數的最大值，即可得出S的最大值；（3）求出定點在正方形PQMN內部時，t的范圍，即可得出點（4， ）被正方形PQMN覆蓋時t的取值范圍．要用到分類討論．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的最值的相關知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．