Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點D是AB的中點，DE⊥BC，垂足為點E，連接CD．

（1）如圖1，求DE與BC的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2，若P是線段CB上一動點（點P不與點B、C重合），連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，∠PDF=60°連接BF，請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

Answer 1

【答案】（1）DE=BC．

（2）BF+BP=DE．理由見解析

【解析】試題分析：（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到DB=DC，則可判斷△DCB為等邊三角形，由于DE⊥BC，DE=BC；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，則根據(jù)“SAS”可判斷△DCP≌△DBF，則CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE．

試題解析：解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．∵點D是AB的中點，∴DB=DC，∴△DCB為等邊三角形．∵DE⊥BC，∴DE=BC．故答案為： DE=BC．

（2）BF+BP=DE．理由如下：

∵線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF，而∠CDB=60°，∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，∴∠CDP=∠BDF．在△DCP和△DBF中，∵DC=DB，∠CDP=∠BDF，DP=DF，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP=BF，而CP=BC﹣BP，∴BF+BP=BC．∵DE=BC，∴BC=DE，∴BF+BP=DE．