Question

【題目】正方形OABC的邊長為2，其中OA、OC分別在x軸和y軸上，如圖①所示，直線l經過A、C兩點．

(1)若點P是直線l上的一點，當△OPA的面積是3時，請求出點P的坐標；

(2)如圖②，坐標系xOy內有一點D(－1，2)，點E是直線l上的一個動點．

①請求出|BE＋DE|的最小值和此時點E的坐標；

②若將點D沿x軸翻折到x軸下方，直接寫出|BE－DE|的最大值，并寫出此時點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）P(1，3)或P (－5，－3)；（2）①最小值為 ，E ；②最大值為，點E (2，4).

【解析】（1）如圖1中，求出直線l的解析式為y=x+2．設點P的坐標為（m，m+2），由題意得×2×|m+2|=3，解方程即可；

（2）如圖2中，連接OD交直線l于點E，則點E為所求，此時|BE+DE|=|OE+DE|=OD，OD即為最大值．求出直線OD的解析式，利用方程組求出等E坐標即可；

（3）如圖3中，O與B關于直線l對稱，所以BE=OE，|BE-DE|=|OE-DE|．由兩邊之差小于第三邊知，當點O，D，E三點共線時，|OE-DE|的值最大，最大值為OD．求出直線OD的解析式，利用方程組求出交點E坐標即可．

解：(1)如圖①，由題意知點A、點C的坐標分別為(－2，0)和(0，2)．

設直線l的函數表達式y＝kx＋b(k≠0)，

其經過點A(－2，0)和點C(0，2)，代入得 ，

解得 ，

∴直線l的解析式為y＝x＋2.

設點P的坐標為(m，m＋2)，由題意得×2×|m＋2|＝3，

∴m＝1或－5.

∴P1(1，3)，P2 (－5，－3)．

(2)①如圖②，連接OD交直線l于點E，則點E為所求，

此時|BE＋DE|＝|OE＋DE|＝OD，OD即為最小值．

設OD所在直線為y＝k1x(k1≠0)，經過點D(－1，2)，

∴k1＝－2，

∴直線OD的解析式為y＝－2x.

由，解得，

∴點E的坐標為.

又∵點D的坐標為(－1，2)，

∴由勾股定理可得OD＝.

即|BE＋DE|的最小值為.

②如圖③，∵O與B關于直線l對稱，

∴BE＝OE，

∴|BE－DE|＝|OE－DE|.

由三角形的兩邊之差小于第三邊知，當點O，D，E三點共線時，|OE－DE|的值最大，最大值為OD.

∵D(－1，－2)，

∴直線OD的解析式為y＝2x，OD＝ ＝.

由解得，

∴點E的坐標為(2，4)．

∴|BE－DE|的最大值為，此時點E的坐標為(2，4)．