Question

如圖①，在梯形ABCD中，AB=BC=10 cm，CD=6 cm，∠C=∠D=90°，如圖②，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)以每秒1cm的速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BA、AD、DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．
（1）設(shè)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)t秒時(shí)，△PBQ的面積為S（cm²），求S（cm²）關(guān)于t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要分類(lèi)進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤10時(shí)，可分別過(guò)P，A作BC的垂線(xiàn)，通過(guò)構(gòu)建的相似三角形求出BQ邊上的高，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即10≤t≤12時(shí)，Q點(diǎn)已停止運(yùn)動(dòng)，因此△BPQ的底邊BQ的長(zhǎng)不會(huì)變化，而B(niǎo)Q邊上的高為CD的長(zhǎng)，也不變，因此此時(shí)△BPQ的面積為定值S=BC•CD．
③當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即12≤t≤18是，Q點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，BQ長(zhǎng)不變，BQ邊上的高為PC，PC的長(zhǎng)可用AB，AD，CD三邊的和減去P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程來(lái)求得．然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）根據(jù)（1）的分段函數(shù)即可求出不同的自變量的取值范圍內(nèi)，S的最大值，然后比較即可得出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，則AM=CD=6，
∵在Rt△ABM中，AB=10，AM=6，
∴BM===8，
∴AD=MC=2，
過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC于N，則△PNB∽△AMB
∴=
∴=
∴PN=t
ⅰ當(dāng)點(diǎn)P在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)
S=•BQ•NP=t•t=t²（0≤t≤10）
ⅱ當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BQ=BC=10，PN=DC=6
S=•BQ•NP=×10×6=30（10≤t≤12）
ⅲ當(dāng)點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)
S=•BQ•CP=×10×（10+2+6-t）=-5t+90（12≤t≤18）．

（2）ⅰ當(dāng)0≤t≤10時(shí)，S=t²，S隨t的增大而增大
則當(dāng)t=10時(shí)，△PBQ的面積最大，最大面積S=30
ⅱ當(dāng)10≤t≤12時(shí)，面積不變，S=30
ⅲ當(dāng)12≤t≤18時(shí)，S=-5t+90，S隨t的增大而減小．
則當(dāng)t=12時(shí)，△PBQ的面積最大，最大面積S=30
綜上所述，當(dāng)10≤t≤12時(shí)，△PBQ的面積最大，最大面積為30cm²．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)、相似三角形的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．