Question

（2013•貴陽(yáng)模擬）如圖1，已知∠EOF，點(diǎn)B、C在射線(xiàn)OF上，四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD相交于點(diǎn)M，連接OM．
（1）當(dāng)OM⊥AC時(shí)，求證：OA=OC．
（2）如圖2，當(dāng)∠EOF=45°時(shí)，且四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形時(shí)，求OM的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）若要證明OA=OC，則可轉(zhuǎn)化為證明OM是AC的垂直平分線(xiàn)即可；
（2）過(guò)M作MG⊥OF于G，首先證明四邊形AOBD是平行四邊形，得到AD=OB，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到BG和MG的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理即可求出OM的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AM=CM，
∵OM⊥AC，
∴OM是AC的垂直平分線(xiàn)，
∴OA=OC；

（2）過(guò)M作MG⊥OF于G，
∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，
∴AD∥BC，∠DBC=45°，
∵∠EOF=45°，
∴∠AOB=∠EOF，
∴AO∥DB，
∴四邊形AOBD是平行四邊形，
∴AD=OB=a，
∵OG=

3

2

a，
∵BC=a，
∴MG=

1

2

a，
∴OM=

MG2+OG2

=

10

2

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等．