Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB＝10，AC是⊙O的弦．過點C作⊙O的切線DE交AB的延長線于點E，過點A作AD⊥DE，垂足為D，與⊙O交于點F，設∠DAC、∠CEA的度數分別為α，β，且0°＜α＜45°

（1）用含α的代數式表示β；

（2）連結OF交AC于點G，若AG＝CG，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）β＝90°﹣2α；（2）AC＝5

【解析】

（1）連接OC，根據切線的性質得到OC⊥DE，得到OC∥AD，根據平行線的性質、圓周角定理計算即可；

（2）證明△AGF≌△AGO，根據全等三角形的性質得到OG＝GF，根據勾股定理求出AG，根據垂徑定理解答即可．

解：（1）連接OC，

∵CE是⊙O的切線，

∴OC⊥DE，又AD⊥DE，

∴OC∥AD，

∴∠ACO＝α，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠ACO＝α，

∴∠EOC＝2α，

∴β＝90°﹣2α；

（2）在△AGF和△AGO中，

，

∴△AGF≌△AGO（ASA）

∴OG＝GF，

∴OG＝OA＝，

由勾股定理得，AG＝，

∵OF⊥AC，

∴AC＝2AG＝．