Question

已知在平面直角坐標系內，O為坐標原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側，如圖，二次函數y＝a x2＋bx＋c(a≠0)的圖象經過點A、B，與y軸相交于點C． (1) a、c的符號之間有何關系？ (2) 如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證a、c互為倒數； (3) 在(2)的條件下，如果b＝－4，AB＝，求a、c的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：a、c同號(或當a＞0時，c＞0，當a＜0時，c＜0)．
(2)	證明：設點A的坐標為(x1，0)，點B的坐標為(x2，0)，則0＜x1＜x2．∴OA＝x1,OB＝x2，OC＝｜c｜，據題意，x1，x2是方程a x2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根，∴x1·x2＝，由題意，得OA·OB＝OC2，即＝｜c｜2＝c2．∵c≠0，∴，即ac＝1．所以當線段OC長是線段OA、OB長的比例中項時，a、c互為倒數．
(3)	解：當b＝－4時，由(2)知，x1＋x2＝－＝＞0，∴a＞0． 解法一：AB＝OB－OA＝x2－x1＝，∴AB＝＝＝．∵AB＝，∴＝．得a＝，∴c＝2． 解法二：由求根公式，，∴x1＝，x２＝．∴AB＝BO－OB＝x2－x1＝－＝．∵AB＝＝，∴＝．得a＝，∴c＝2．