Question

如圖，拋物線y=x²-mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0．-1）．且對稱軸x=1．
（1）求出拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；
（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點D，使四邊形ABDC的面積為3？若存在，求出點D的坐標；若不存在．說明理由（使用圖1）；
（3）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點P的坐標（使用圖2）．

Answer 1

解：（1）∵拋物線與y軸交于點C（0．-1）．且對稱軸x=l．
∴，解得：，
∴拋物線解析式為y=x²-x-1，
令x²-x-1=0，得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），

（2）設在x軸下方的拋物線上存在D（a，）（0＜a＜3）使四邊形ABCD的面積為3．
作DM⊥x軸于M，則S_{四邊形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OCDM+S_△BMD，
∴S_{四邊形ABDC}=|x_Ay_C|+（|y_D|+|y_C|）x_M+（x_B-x_M）|y_D|
=×1×1+[-（a²-a-1）+1]×a+（3-a）[-（a²-a-1）]
=-a²++2，
∴由-a²++2=3，
解得：a₁=1，a₂=2，
∴D的縱坐標為：a²-a-1=-或-1，
∴點D的坐標為（1，-），（2，-1）；

（3）①當AB為邊時，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知點Q在y軸上，所以點P的橫坐標為-4或4，
當x=-4時，y=7；當x=4時，y=；
所以此時點P₁的坐標為（-4，7），P₂的坐標為（4，）；
②當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，線段AB中點為G，PQ必過G點且與y軸交于Q點，
過點P₃作x軸的垂線交于點H，
可證得△P₃HG≌△Q₃OG，
∴GO=GH，
∵線段AB的中點G的橫坐標為1，
∴此時點P橫坐標為2，
由此當x=2時，y=-1，
∴這是有符合條件的點P₃（2，-1），
∴所以符合條件的點為：P₁的坐標為（-4，7），P₂的坐標為（4，）；P₃（2，-1）．
分析：（1）根據二次函數對稱軸公式以及二次函數經過（0．-1）點即可得出答案；
（2）根據S_{四邊形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OCDM+S_△BMD，表示出關于a的一元二次方程求出即可；
（3）分別從當AB為邊時，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可以及當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，分別求出即可．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型，特別注意利用數形結合是這部分考查的重點，也是難點，同學們應重點掌握．