Question

已知一平面內的任意四點，其中任何三點都不在一條直線上，試問：是否一定能從這樣的四點中選出三點構成一個三角形，使得這個三角形至少有一內角不大于45°？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：結論是以疑問形式出現的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，則說明結論是否定的；若推不出矛盾，則可考慮去證明結論是肯定的．
解答：證明：能．
（1）如圖a，若四點A，B，C，D構成凸四邊形．則必有一個內角≤90°．不妨設為∠A．
這是因為，假設四個內角都大于90°，則360°=∠A+∠B+∠C+∠D＞4×90°=360°．矛盾．
則∠BAC+∠CAD≤90°．
則∠BAC與∠CAD中必有一個≤×90°=45°．
故結論成立．

（2）如圖b．若四點A，B，C，D構成四邊形．則△ABC中必有一個內角≤×180°=60°．
不防設∠A≤60°．
又∠A=∠BAD+∠CAD≤60°．
則∠BAD與∠CAD值中必有一個≤×60°＜45°．
故結論成立．
點評：本題結合角的比較考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．
反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；
（2）從假設出發(fā)推出矛盾；
（3）假設不成立，則結論成立．
在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．