Question

如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．
【小題1】求A、B、C三點的坐標．
【小題2】過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積．
【小題3】在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似．若存在，直接寫出所有滿足要求的M點的坐標；否則，請說明理由．

Answer 1

【小題1】令，得  解得
令，得
∴ A   B   C  ..................................3分
【小題1】∵OA=OB=OC=   ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB，       ∴PAB=

過點P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形
令OE=，則PE= ∴P
∵點P在拋物線上 ∴ 
解得，（不合題意，舍去）
∴PE=
∴四邊形ACBP的面積=AB•OC+AB•PE=
【小題1】滿足要求的M點有三個，（－2，0）、（，0）、（4，0）.

解析【小題1】拋物線與x軸的交點，即當y=0，C點坐標即當x=0，分別令y以及x為0求出A，B，C坐標的值；
【小題1】四邊形ACBP的面積=△ABC+△ABP，由A，B，C三點的坐標，可知△ABC是直角三角形，且AC=BC，則可求出△ABC的面積，根據已知可求出P點坐標，可知AP的長度，以及點B到直線的距離，從而求出△ABP的面積，則就求出四邊形ACBP的面積；
【小題1】假設存在這樣的點M，兩個三角形相似，根據題意以及上兩題可知，∠PAC∠和∠MGA是直角，只需證明或即可．設M點坐標，根據題中所給條件可求出線段AG，CA，MG，CA的長度，然后列等式，分情況討論，求解．