Question

【題目】如圖1，P 為△ABC 內一點，連接 PA、PB、PC，在△PAB、△PBC 和△PAC 中，如果存在一個三角形與△ABC 相似，那么就稱 P 為△ABC 的自相似點．

(1)如圖 2，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 上的中線，過點 B 作 BE⊥CD，垂足為 E，試說明 E 是△ABC 的自相似點．

(2)如圖 3，在△ABC 中，∠A<∠B<∠C．若△ABC 的三個內角平分線的交 點 P 是該 三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）根據已知條件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出結論；
（2）根據∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各內角的度數．

解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中線，
∴CD=AB，
∴CD=BD，
∴∠BCE=∠ABC，
∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴△BCE∽△ABC，
∴E是△ABC的自相似點；
（2）∵P是△ABC的內心，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∵△ABC的內心P是該三角形的自相似點，

∴△BCP∽△ABC
∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，
∴∠A+2∠A+4∠A=180°，
∴∠A=，
∴該三角形三個內角度數為：，，．