Question

已知矩形紙片ABCD中，AB＝2，BC＝3．
操作：將矩形紙片沿EF折疊，使點B落在邊CD上．
【小題1】如圖1，若點B與點D重合，你認為△EDA₁和△FDC全等嗎？如果全等，請給出證明，如果不全等，請說明理由
【小題2】如圖2，若點B與CD的中點重合，請你判斷△FCB₁、△B₁DG和△EA₁G之間的關系，如果全等，只需寫出結(jié)果，如果相似，請寫出結(jié)果和相應的相似比
【小題3】如圖2，請你探索，當點B落在CD邊上何處，即B₁C的長度為多少時，△FCB₁與△B₁DG全等．

Answer 1

【小題1】全等．-------------------------1分
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
所以∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，
由題意知：∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，------------2分
所以∠=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，---------------------3分
所以∠DE=∠CDF，
所以△ED≌△FDC（ASA）．---------4分
【小題2】△B₁DG和△EA₁G全等．------------6分
△FCB₁與△B₁DG相似，設FC=，
則B₁F=BF=，B₁C=DC=1，
所以，所以，
所以△FCB₁與△B₁DG相似，相似比為4：3．----------------------9分
【小題3】△FCB₁與△B₁DG全等．設，則有，，
在直角中，可得，整理得，解得(另一解舍去)，
所以，當B₁C=時，△FCB₁與△B₁DG全等．-----------------12分解析:
（1）根據(jù)ASA可以證明兩個三角形全等；
（2）設CF=x，則BF=3-x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得B₁F=BF=3-x，再進一步根據(jù)勾股定理求得x的值；根據(jù)相似三角形的判定可以證明△FCB₁和△B₁DG相似，求出相似比；
（3）利用直角三角形的勾股定理求出結(jié)果