Question

如圖1，矩形MNPQ中，點E，F，G，H分別在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形．圖2，圖3，圖4中，四邊形ABCD為矩形，且AB=4，BC=8．
理解與作圖：
（1）在圖2，圖3中，點E，F分別在BC，CD邊上，試利用正方形網格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH．
計算與猜想：
（2）求圖2，圖3中反射四邊形EFGH的周長，并猜想矩形ABCD的反射四邊形的周長是否為定值？
啟發與證明：
（3）如圖4，為了證明上述猜想，小華同學嘗試延長GF交BC的延長線于M，試利用小華同學給我們的啟發證明（2）中的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據網格結構，作出相等的角即可得到反射四邊形；
（2）圖2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的長度，然后即可得到周長，圖3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的長度，然后求出周長，從而得到四邊形EFGH的周長是定值；
（3）證法一：延長GH交CB的延長線于點N，再利用“角邊角”證明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，從而得到MN=2BC，再證明GM=GN，過點G作GK⊥BC于K，根據等腰三角形三線合一的性質求出MK=MN=8，再利用勾股定理求出GM的長度，然后即可求出四邊形EFGH的周長；
證法二：利用“角邊角”證明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=MF，EC=MC，再根據角的關系推出∠M=∠HEB，根據同位角相等，兩直線平行可得HE∥GF，同理可證GH∥EF，所以四邊形EFGH是平行四邊形，過點G作GK⊥BC于K，根據邊的關系推出MK=BC，再利用勾股定理列式求出GM的長度，然后即可求出四邊形EFGH的周長．
解答：解：（1）作圖如下：（2分）


（2）在圖2中，EF=FG=GH=HE===2，
∴四邊形EFGH的周長為4×2=8，（3分）
在圖3中，EF=GH==，FG=HE===3，
∴四邊形EFGH的周長為2×+2×3=2+6=8．（4分）
猜想：矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值．（5分）

（3）證法一：延長GH交CB的延長線于點N．
∵∠1=∠2，∠1=∠5，
∴∠2=∠5．
而FC=FC，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM．

∴EF=MF，EC=MC，（6分）
同理：NH=EH，NB=EB．
∴MN=2BC=16．（7分）
∵∠M=90°-∠5=90°-∠1，∠N=90°-∠3，
∴∠M=∠N．∴GM=GN．（8分）
過點G作GK⊥BC于K，則KM=MN=8，（9分）
∴GM===4，
∴四邊形EFGH的周長為2GM=8，（10分）
證法二：∵∠1=∠2，∠1=∠5，
∴∠2=∠5．
而FC=FC，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM．
∴EF=MF，EC=MC．（6分）
∵∠M=90°-∠5=90°-∠1，∠HEB=90°-∠4，
而∠1=∠4，
∴∠M=∠HEB．
∴HE∥GF．
同理：GH∥EF．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．（7分）
∴FG=HE，
而∠1=∠4，
∴Rt△FDG≌Rt△HBE．
∴DG=BE．（8分）
過點G作GK⊥BC于K，則KM=KC+CM=GD+CM=BE+EC=8．（9分）
∴GM===4，
∴四邊形EFGH的周長為2GM=8．（10分）
點評：本題考查了應用與設計作圖，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，矩形的性質，讀懂題意理解“反射四邊形EFGH”特征是解題的關鍵．