Question

【題目】如圖，拋物線交x軸于A、B兩點，直線y=kx+b經過點A，與這條拋物線的對稱軸交于點M（1，2），且點M與拋物線的頂點N關于x軸對稱．

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）設題中的拋物線與直線的另一交點為C，已知P（x，y）為線段AC上一點，過點P作PQ⊥x軸，交拋物線于點Q．求線段PQ的最大值及此時P坐標；

（3）在（2）的條件下，求△AQC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PQ有最大值=，此時P(2,3)；（3）

【解析】

（1）由于點M和拋物線頂點關于x軸對稱，即可得到點N的坐標，進而表示出該拋物線的頂點坐標式函數解析式；

（2）將點A與點M的坐標代入y=kx+b求出k與b的值，確定直線AC的解析式，得到點P坐標為（x，x+1），根據直線AC和拋物線的解析式，即可得到P、Q的縱坐標，從而得到關于PQ的長和P點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出PQ的最大值及對應的P點坐標；
（3）由于△AQC面積=△AQP面積+△CPQ面積，根據三角形面積公式將PQ的最大值代入計算即可求解．

（1）由題意知，拋物線頂點N的坐標為（1，-2），

（2）由（1）得：x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；

∵將A（-1，0）、M（1，2）代入y=kx+b中得：
解得：
∴直線AC的函數關系式為y=x+1，

解方程組

得x=-1或5，即A（-1，0）、C（5，6）；

∴點P在線段AC之間
設P坐標為（x，x+1），則Q的坐標為
∴PQ=（x+1） - （）=

時

有最大值

此時

（3）